B样条基函数的定义跟性质

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B样条基函数的定义和性质

定义:令U={u0,u1,…,um}是一个单调不减的实数序列,即ui≤ui+1,i=0,1,…,m-1。其中,ui称为节点,U称为节点矢量,用Ni,p(u)表示第i个p次(p+1阶)B样条基函数,其定义为

 

由此可知:

(1)Ni,0(u)是一个阶梯函数,它在半开区间u∈[ui,ui+1)外都为零;

(2)当p>0时,Ni,p(u)是两个p-1次基函数的线性组合;

(3)计算一组基函数时需要事先制定节点矢量U和次数p;

(4)定义式中可能出现0/0,我们规定0/0=0;

(5)Ni,p(u)是定义在整个实数轴上的分段多项式函数,但我们一般只对它在区间[u0,um]上的部分感兴趣;

(6)半开区间[ui,ui+1)称为第i个节点区间(knot span),它的长度可以为零,因为相邻节点可以是相同的;

(7)计算p次基函数的生成过程生成一个如下形式的三角形阵列:

为了书写方便,我们通常将Ni,p(u)写为Ni,p

性质:

(1)(局部支撑性)如果u∉[ui,ui+p+1),则Ni,p(u)=0。

(2)在任意给定的节点区间[uj,uj+1)内,最多p+1个Ni,p是非零的,它们是Nj-p,p,…,Nj,p

(3)(非负性)对于所有的i,p和u,有Ni,p(u)≥0。

(4)(规范性)对于任意的节点区间[ui,ui+1),当u∈[ui,ui+1)时

(5)(可微性)在节点区间内部,Ni,p(u)是无限次可微的。

(6)除p=0的情况外,Ni,p(u)严格地达到最大值一次。

以上结论出自:《非均匀有理B样条》第2版。

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