灰度图像-频域滤波 傅里叶变换之离散时间傅里叶变换(DTFT)

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灰度图像--频域滤波 傅里叶变换之离散时间傅里叶变换(DTFT)

学习DIP第22天

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开篇废话

    本来是不想写DTFT的,原因1,与前面傅里叶变换(FT)推导过程相似,原因2,在图像处理中DTFT应用不是很广泛,但后来想想还是写出来,原因1,不写出来我觉得心里不踏实,原因2,DTFT是DFT的近亲,不写的话家族不完整,下一篇写DFT,其实写到这个阶段,要写的东西就少了许多,因为很多都是引用前面的结论和一些性质。但还是写出来吧,为了心里踏实。
    忘了哪位中国上一辈的科学家说过,“搞科研不能糊弄,你糊弄它,它就糊弄你。”我这算不上科研,但感觉还是学踏实点心里有底,不至于以后哪里出了问题总是会怀疑自己知识基础有问题。还有,希望我们当代的科研工作者能好好搞研究,都不好好教学了还搞不好研究,那就真是一群废物了。

从离散周期信号的傅里叶级数推导离散时间傅里叶变换

    一个某一个有限序列x[n],其在某一个阶段N(N1<=n<=N2)内不为0,其外部,全部为0,用这个信号构造一个周期信号x'[n],x[n]是x'[n]的一个周期。


    x'[n]是周期信号,所以其有傅里叶级数,并且其傅里叶级数是周期的:
    在N内x'[n]=x[n],替换求和内容为:

    在N外x[n]=0;所以定义函数:

    所以系数ak正比于X(e^jw):

    其中w0=2*pi/N,上面式子和第一个式子结合起来就有:

    因为w0*N=2*pi,所以有:

    随着N的增加,w0不断减少,当N趋近于无穷大的时候,w0趋近于无穷小,x'[n]=x[n] ,此时,上式变成一个积分式,积分变量为w0,因为w0=2*pi/N,所以积分区间为2*pi,就有:

    因为X(e^jw)e^jw的周期是2*pi,所以积分区间可以去任何长度的2*pi区间,得出以下变换对:

这就是离散时间傅里叶变换对,同样,转换到频域的叫分析公式,转换到时域的叫综合公式。

性质



总结

    至此,傅里叶家的四种主要变换已经全部推导了以下,下一篇写下DFT是什么,然后介绍几个常见问题,并给出傅里叶家谱和之间的相互关系。
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